根据《普林斯顿微积分读本（修订版）》整理。这个是一本关于微积分的书，分为微分与积分两部分。

常用知识#

• 多项式公式

  • 平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a+b)$，$a+b$和$a-b$互相为对方的共轭表达式
  • 立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
  • 和的立方公式：$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

• 二次方程$ax^2+bx+c=0$的解：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

• 数列求和：

  • $\sum_{j=1}^{n}j=\frac{n(n+1)}{2}$（即前$n$个自然数的和，可以通过两个相同的反序数列相加得出）
  • $\sum_{j=1}^{n}(j^2-(j-1)^2)=\sum_{j=1}^{n}(2j-1)=n^2$（即前$n$个奇数的和等于$n^2$，通过展开得出）
  • $\sum_{j=1}^{n}j^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$（即前$n$个自然数平方的和，可以通过展开$\sum_{j=1}^{n}(j^3-(j-1)^3)$得出）

函数与图像#

[1]

• 函数的类型：
  • 多项式函数（幂）
  • 指数函数和对数函数
  • 三角函数和反三角函数
  • 双曲函数和反双曲函数
• 上域与值域：值域实际上是上域的一个子集。上域是可能输出的集合，一般为$\mathbb{R}$，而值域则是实际输出的集合。
• 数学约束：1）分数的分母不能为零；2）不能取一个负数的偶次方根；3）不能取一个负数或零的对数。
• 垂线检验：如果你有某个图像，想知道它是否是某个函数的图像，只需看看任何的垂线和图像的相交是否多于一次，函数的图像不会和任何垂线相交多于一次。通过水平线检验判断函数是否有反函数。
• 反函数：对于$f$值域中的所有$y$，都有$f(f^{-1}(y))=y$；但是$f^{-1}(f(x))$可能不等于$x$；$f^{-1}(f(x))=x$仅当$x$在限制的定义域中才成立（因为一个$y$可能对应多个$x$）。
• 复合函数：$f(x)=h(g(x))$可以表示为$f=h \circ g$，读作$f$是$g$与$h$的复合。
• 奇偶函数：如果一个函数$f$是奇的，且在0上有定义，则$f(0)=0$；两个奇函数之积是偶函数，。
• 线性函数：线性函数$f(x)=mx+b$可以通过点斜式描述，即通过点$(x_0, y_0)$且斜率为$m$的直线为$y-y_0=m(x-x_0)$，如果只知道通过$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$两点，那么可以先计算其斜率$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，再通过点斜式得到。
• 多项式函数：最简式$p(x)=ax^n$的图像分$n$为奇数或偶数两种类型，多项式通式$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0$的图像中间部分取决与各项，但两侧趋势取决于最高幂项的指数$n$。
• 有理函数：最简式$\frac{1}{x^n}$的图像分$n$为奇数或偶数两种类型，通式为$\frac{p(x)}{q(x)}$。
• 指数函数：$y = b^x$的图像分$b > 1$和$0 < b < 1$两种类型，$y = b^{-x}(b > 0)$等同于$y = b^x(0 < b < 1)$。
• 对数函数：对数函数$y=log_b(x)$是指数函数$y=x^b$的逆函数，对数函数的图像可以通过以直线$y=x$镜子，映射指数函数得出，同样分$b > 1$和$0 < b < 1$两种类型。
• 绝对值函数：绝对值函数$f(x)=|g(x)|$的图像，以$x$轴为镜子，把$g(x)$在$x$轴下方的图像映照上来，$x$轴上方的图像保持不变。

指数和对数函数#

• 指数法则 [9.2]:

  • $b^0=1$
  • $b^1=b$
  • $b^x b^y=b^{x+y}$
  • $\frac{b^x}{b^y}=b^{x-y}$
  • $(b^x)^y=b^{xy}$

• 对数基础 [9.1]:

  • $\log_b(y)$表示底数为$b$，$y$的对数，含义是为了得到$y$，你必须将底数$b$提升的幂次。这里要求$y > 0$，$b > 0$且$b\neq 1$
  • $x$的自然对数的表示：$log_e(x)=ln(x)=log(x)$
  • $log_b(b^x)=x$：通过对数函数的定义得出。
  • $b^{log_b(x)}=x$：通过对数函数的定义得出。
  • $log_{\frac{1}{b}}(y)=-log_b(y)$：$x=log_{\frac{1}{b}}(y) \Rightarrow (\frac{1}{b})^x=y \Rightarrow b^{-x}=y \Rightarrow -x=log_b(y) \Rightarrow x=-log_b(y)$
  • 常用对数值
    • $ln(2) \approx 0.7$
    • $ln(3) \approx 1.1$
    • $ln(5) \approx 1.6$

• 对数法则 [9.3]:

  • $b^0=1$
  • $log_b(1)=0$
  • $log_b(b)=1$
  • $log_b(xy)=log_b(x)+log_b(y)$
  • $log_b(\frac{x}{y})=log_b(x)-log_b(y)$
  • $log_b(x^y)=y log_b(x)$
  • $log_b(x)=\frac{log_c(x)}{log_c(b)}$：换底法则，这意味着对同一个变量，不同底数的对数函数是互为常数倍的关系（倍数为$\frac{1}{log_c(b)}$），图像为在垂直方向拉伸$\frac{1}{log_c(b)}$倍的关系

三角函数#

• 定义 [2.1]

  • 正弦：$sin(\theta)=\frac{OppositeSide}{Hypotenuse}=\frac{y}{r}$，以$2\pi$[$0$, $2\pi$]为周期的奇函数（[$-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}$]单调递增），$sin(-\theta)=-sin(\theta)$
  • 余弦：$cos(\theta)=\frac{AdjacentSide}{Hypotenuse}=\frac{x}{r}$，以$2\pi$[$0$, $2\pi$]为周期的偶函数（[$0,\pi$]单调递减），$cos(-\theta)=cos(\theta)$
  • 正切：$tan(\theta)=\frac{OppositeSide}{AdjacentSide}=\frac{y}{x}$，以$\pi$$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$为周期的奇函数（[$-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}$]单调递增），$tan(-\theta)=-tan(\theta)$
  • 余切：$cot(\theta)=\frac{1}{tan(\theta)}=\frac{x}{y}$，以$\pi$$[0, \pi]$为周期的奇函数（[$0,\pi$]单调递减），$cot(-\theta)=-cot(\theta)$
  • 正割：$sec(\theta)=\frac{1}{cos(\theta)}=\frac{r}{y}$，以$2\pi$[$0$, $2\pi$]为周期的偶函数（[0,$\frac{\pi}{2}$]和[$\frac{\pi}{2},\pi$]单调递减，在$x=\frac{\pi}{2}$处有渐近线），$sec(-\theta)=sec(\theta)$
  • 余割：$csc(\theta)=\frac{1}{sin(\theta)}=\frac{r}{x}$，以$2\pi$[$0$, $2\pi$]为周期的奇函数（[$-\frac{\pi}{2},0$]和[$0,\frac{\pi}{2}$]单调递减，在$x=0$处有渐近线），$csc(-\theta)=-csc(\theta)$
  • cos = complementary sin
  • cot = complementary tan

• 常用值 [2.2]

  $\theta$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
  $\sin(\theta)$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
  $\cos(\theta)$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
  $\tan(\theta)$	$0$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	*
  $\cot(\theta)$	*	$\sqrt{3}$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$0$

  • 通过参考角计算$0$到$\frac{\pi}{2}$之外的三角函数值。
  • 参考角为角$\theta$的射线与**$x$轴**之间的最小夹角，它必定介于0到$\frac{\pi}{2}$之间。
  • 正负号按$x$和$y$的符号选取。

• 三角恒等式 [2.3]

  • $tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}$
  • $cot(x)=\frac{cos(x)}{sin(x)}$
  • 毕达哥拉斯定理：
    • $cos^2(x)+sin^2(x)=1$
    • $1+tan^2(x)=sec^2(x)$ (左右两边同时除以$cos^2(x)$)
    • $1+cot^2(x)=csc^2(x)$ (左右两边同时除以$sin^2(x)$)
  • complementary
    • $sin(x)=cos(\frac{\pi}{2} - x)$
    • $cos(x)=sin(\frac{\pi}{2} - x)$
    • $tan(x)=cot(\frac{\pi}{2} - x)$
    • $cot(x)=tan(\frac{\pi}{2} - x)$
    • $sec(x)=csc(\frac{\pi}{2} - x)$
    • $csc(x)=sec(\frac{\pi}{2} - x)$
  • $sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)$（公平策略）
  • $cos(A+B)=cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)$（偏袒策略）
    • $sin(2x)=2sin(x)cos(x)$
    • $cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)=1-2sin^2(x)=2cos^2(x)-1$
    • 积化和差公式：
      • $cos(A)cos(B)=\frac{1}{2}(cos(A-B)+cos(A+B))$
      • $sin(A)sin(B)=\frac{1}{2}(cos(A-B)-cos(A+B))$
      • $sin(A)cos(B)=\frac{1}{2}(sin(A-B)+sin(A+B))$
  • 余弦定理：任意三角形中，$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$，$A$为边$b$与边$c$的夹角
    • 当 $A=\frac{\pi}{2}$ 时，$a^2 = b^2 + c^2$（勾股定理）

反三角函数#

存在反函数的条件：如果函数的导数总为正或有限个零（一直递增），或总为负或有限个零（一直递减），那么函数有反函数。[10.2]

• 反正弦函数：$f(x)=sin^{-1}(x)=arcsin(x)$，为奇函数，$x \in [-1, 1]$，$y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
• 反余弦函数：$f(x)=cos^{-1}(x)=arccos(x)$，为非奇非偶函数，$x \in [-1, 1]$，$y \in [0, \pi]$
• 对于在区间$[-1,1]$上任意的$x$，$sin^{-1}+cos^{-1}(x)=\frac{\pi}{2}$
• 反正切函数：$f(x)=tan^{-1}(x)=arctan(x)$，为奇函数，$x \in \mathbb{R}$，$y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
• 反余切函数：$f(x)=cot^{-1}(x)=arccot(x)$，为非奇非偶函数，$x \in \mathbb{R}$，$y \in [0, \pi]$
• 反正割函数：$f(x)=sec^{-1}(x)=arcsec(x)$，为非奇非偶函数，$x \in (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$，$y \in [0,\pi] \setminus { \frac{\pi}{2} }$
• 反余割函数：$f(x)=csc^{-1}(x)=arccsc(x)$，为奇函数，$x \in (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$，$y \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \setminus { 0 }$

双曲函数#

双曲函数实际上是伪装的指数函数 [9.8]

• 定义

  • 双曲正弦函数：$sinh(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2}$
  • 双曲余弦函数：$cosh(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{2}$
  • 双曲正切函数：$tanh(x)=\frac{sinh(x)}{cosh(x)}$
  • 双曲余切函数：$coth(x)=\frac{cosh(x)}{sinh(x)}$
  • 双曲正割函数：$sech(x)=\frac{1}{cosh(x)}$
  • 双曲余割函数：$csch(x)=\frac{1}{sinh(x)}$

• 性质

  • $cosh(x)$是偶函数：$cosh(-x)=cosh(x)$
  • $sinh(x)$是奇函数：$sinh(-x)=-sinh(x)$
  • $cosh(0)=1$
  • $sinh(0)=0$
  • $cosh^2{x} - sinh^2(x) = 1$

反双曲函数#

[10.3]

• 反双曲正弦函数：$f(x)=sinh^{-1}(x)=arcsinh(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})$，为奇函数，$x \in \mathbb{R}$，$y \in \mathbb{R}$
• 反双曲余弦函数：$f(x)=cohh^{-1}(x)=arccosh(x)=ln(x+\sqrt{x^2-1})$，为非奇非偶函数，$x \in [1,\infty)$，$y \in [0,\infty)$
• 反双曲正切函数：$f(x)=tanh^{-1}(x)=arctanh(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})$，为奇函数，$x \in (-1,1)$，$y \in \mathbb{R}$
• 反双曲余切函数：$f(x)=coth^{-1}(x)=arccoth(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})$，为奇函数，$x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$，$y \in \mathbb{R} \setminus {0}$
• 反双曲正割函数：$f(x)=sech^{-1}(x)=arcsech(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})$，为非奇非偶函数，$x \in (0,1]$，$y \in [0,\infty)$
• 反双曲余割函数：$f(x)=csch^{-1}(x)=arccsch(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})$，为奇函数，$x \in \mathbb{R} \setminus {0}$，$y \in \mathbb{R} \setminus {0}$

极限导论 $lim$#

• 极限定义 [3]

  • 左侧极限：$\lim_{x \to a^-} f(x) = L$，$x$在$a$处减一点点的函数值（不关心当$x=a$时函数的值是什么，哪怕没有值）。
  • 右侧极限：$\lim_{x \to a^+} f(x) = L$，$x$在$a$处加一点点的函数值（不关心当$x=a$时函数的值是什么，哪怕没有值）。
  • 双侧极限：$\lim_{x \to a} f(x) = L$，仅当$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$（不关心当$x=a$时函数的值是什么，哪怕没有值）。
  • 垂直渐近线：如果$\lim_{x \to a^-} f(x)$或$\lim_{x \to a^+} f(x)$等于$\pm\infty$，那么$x=a$就是$f(x)$的垂直渐近线。一个函数可以有多条垂直渐近线，如$y=tan(x)$。
  • 水平渐近线：如果$\lim_{x \to -\infty} f(x)$或$\lim_{x \to \infty} f(x)$等于$a$，那么$y=a$就是$f(x)$的垂直渐近线。一个函数可以有不同的左侧和右侧水平渐近线，但最多只有一条左侧水平渐近线和一条右侧水平渐近线。如$\lim_{x \to -\infty}tan^{-1}(x)=-\frac{\pi}{2}$，$\lim_{x \to \infty}tan^{-1}(x)=\frac{\pi}{2}$。
  • 函数与渐近线相交：一个函数可以和它的水平渐近线相交，例如$\lim_{x \to \infty}\frac{sin(x)}{x}=0$，$x$在接近$\infty$时无限次与$x$轴相交。
  • 夹逼定理（三文治定理）：如果$g(x) \leq f(x) \leq {h(x)}$，且$\lim_{x \to a}g(x)=L$，$\lim_{x \to a}h(x)=L$，那么$\lim_{x \to a}f(x)=L$。
  • 和（差）的极限等于极限的和（差）：当所有分项的极限都是有限的时候成立（即分项都不是$\pm\infty$时）
  • 积（商）的极限等于极限的积（商）：当所有分项的极限都是有限的时候成立（即分项都不是$\pm\infty$时）

• 多项式极限 [4]

  • 一般采用代入法计算极限。
  • 如果分母为$0$但分子不为$0$，则极限为$\pm \infty$，符号看$x \to a$时函数值的符号，但请注意左右极限的值不一定相等。
  • 如果上述的方法不凑巧，可以尝试消除分子分母的公因子，或分子分母同时乘以分子或分母的共轭表达式。
  • 对于任意$n > 0$，只要$C$是常数，就有$lim_{x \to \pm \infty}\frac{C}{x^n}=0$。
  • 求多项式的极限时，其最高次项决定一切，即$\lim_{x \to \infty}\frac{p(x)}{p_L(x)}=1$（其中$p_L(x)$为$p(x)$的最高次项），可以基于这个原理化解多项式的极限，通常的做法是吧$p(x)$化解成$\frac{p(x)}{p_L(x)}p_L(x)$，从而消除非最高次项。

• 指数与对数极限 [9.6]

  • e的定义 [9.4]
    • $\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$
    • $lim_{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$
    • $\lim_{n \to \infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x$
    • $\lim_{h \to 0}(1+xh)^{\frac{1}{h}}=e^x$
  • $\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h}=1$：通过使用定义法求$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x=\lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}$，取$x=0$处的值得出。
  • $\lim_{h \to 0}\frac{ln(1+h)}{h}=1$：通过使用定义法求$\frac{d}{dx}ln(x)=\frac{1}{x}=\lim_{h \to 0}\frac{ln(x+h)-ln(x)}{h}$，取$x=1$处的值得出。亦可以使用线性化公式证明：$\lim_{h \to 0} ln(1+h)=ln(1)+ln’(1)(1+h-1)=h$。
  • 当$x \to \infty$: $log_b(x) < x^n < b^x$, where $n > 0, b > 1$, 也就是说增速排序：对数 $ < $ 幂 $ < $ 指数
    • $\lim_{x \to \infty} \frac{log_b(x)}{x^n}=0$
    • $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{b^x}=0$
    • $\lim_{x \to 0^+} x^n log_b(x)=0$ (let $x=\frac{1}{t}$ to make it become $\lim_{t \to \infty}\frac{-log_b(t)}{t^n}=0$)

• 三角函数的极限 [7.1]

  • $sin(x) < x < tan(x)$, when $0 < x < \frac{\pi}{2}$（通过单位圆内角度为$x$的扇形与相邻两个直角三角形的面积证明）
  • $\lim_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}=1$：$x$可以替换为任何小的数，例如$\lim_{x \to 0}\frac{sin(3x^7)}{3x^7}=1$（通过$sin(x) < x < tan(x)$证明）
  • $\lim_{x \to 0}\frac{tan(x)}{x}=1$：$x$可以替换为任何小的数，例如$\lim_{x \to 0}\frac{tan(3x^7)}{3x^7}=1$（通过$\lim_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}=1$证明）
  • $\lim_{x \to 0}\frac{1-cos(x)}{x}=0$（乘以分子共轭表达式，通过$\lim_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}=1$证明）
  • $\lim_{x \to \infty}\frac{sin(\theta)}{x^\alpha}=0$：when $\alpha > 0$, $\theta$ could be any number
  • $\lim_{x \to \infty}\frac{cos(\theta)}{x^\alpha}=0$：when $\alpha > 0$, $\theta$ could be any number

• 反三角函数的极限 [10.2]

  • $\lim_{x \to -\infty}tan^{-1}(x)=-\frac{\pi}{2}$, $\lim_{x \to \infty}tan^{-1}(x)=\frac{\pi}{2}$
  • $\lim_{x \to -\infty}cot^{-1}(x)=\pi$, $\lim_{x \to \infty}cot^{-1}(x)=0$
  • $\lim_{x \to -\infty}sec^{-1}(x)=\frac{\pi}{2}$, $\lim_{x \to \infty}sec^{-1}(x)=\frac{\pi}{2}$
  • $\lim_{x \to -\infty}csc^{-1}(x)=0$, $\lim_{x \to \infty}csc^{-1}(x)=0$

连续性和可导性#

函数图像通常满足垂线检验即可，进一步的要求，我们可以考虑要求其有连续性，即可以通过一笔勾画出来，甚至它是光滑（可导）的，即图像不会出现尖角。

• 连续性 [5.1]

  • 在一点处的连续：如果$\lim_{x \to a}f(x)=f(a)$（即有左右极限且它们相等），那么函数$f(x)$在点$x=a$处连续（其实就是函数$f(x)$在点$x=a$处不跳跃）。
  • 在一个区间上连续：如果函数在区间$(a,b)$上的每一点都连续，那么它在该区间上连续，如果同时$\lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)$且$\lim_{x \to b^-}f(x)=f(b)$，那么它在区间$[a,b]$也连续。
  • 运算后的连续性：两个连续函数的加、减、乘、除（分母不能为零）、复合后，仍然是连续函数。
  • 连续函数：多项式函数（幂函数）、指数函数、对数函数、三角函数都是连续函数。
  • 介值定理：如果$f$在$[a,b]$上连续，并且$f(a) < M$且$f(b) > M$，那么在区间$(a,b)$上至少有一点$c$，使得$f(c)=M$。代之以$f(a) > M$且$f(b) < M$，同样成立。
  • 最值定理：如果$f$在$[a,b]$（必须是闭区间）上连续，那么$f$在$[a,b]$上至少有一个最大值和一个最小值。

• 可导性（光滑性）[5.2]

  • 平均速率：$Average Speed = \frac{Distance}{Time}$
  • 平均速度：$Average Velocity = \frac{Displacement}{Time}$
  • 瞬时速度：$Instant Velocity = \lim_{u \to t}v_{t \leftrightarrow u} = \lim_{u \to t}\frac{f(u)-f(t)}{u-t} = \lim_{h \to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$
  • 函数的导数：通过点$(x,f(x))$的切线的斜率（slope）是$x$的一个函数，这个函数被称为$f$的导数，记作$f’$或$\frac{d}{dx}f(x)$
  • 导数的含义：当$x$稍作改变时，$y$的变化有多大（含正负号）
  • $\Delta_x$与$dx$：$\Delta_x$表示$x$的变化，$dx$表示$x$的十分微小的变化。
  • 求导公式：$f’(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$=\lim_{\Delta_{x} \to 0}\frac{\Delta_y}{\Delta_x}=\frac{dy}{dx}$，即对于$x$，如果左右极限存且相等在则函数在$x$处可导。请注意$\frac{dy}{dx}$不是一个分数，而是当$\Delta_x \to 0$时的一个极限。
  • 二阶导数：导数的导数称为二阶导数，表示为$f’’$或$f^{(2)}(x)$或$\frac{d^2y}{dx^2}$或$\frac{d^2}{dx^2}(\ldots)$
  • 注意事项：请注意$(\frac{dy}{dx})^2$和$\frac{d^2y}{d^2x}$是完全不同的，前者是一阶导数的平方，后者是一个二阶导数。
  • 高阶导数：高阶导数可以表示为$f^{(n)}(x)$或$\frac{d^ny}{dx^n}$或$\frac{d^n}{dx^n}(\ldots)$
  • 左导数：$\lim_{x \to a^-}f^{’}(x)=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
  • 右导数：$\lim_{x \to a^+}f^{’}(x)=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
  • 连续与可导的关系：可导函数一定连续，但连续函数未必可导（比如尖角处，代表函数的突然变化）
  • 函数及其导数的图像：原函数平坦时，导函数与$x$轴相交（即该点导数为零）。原函数是一条斜直线时，导函数是一个常数。原函数在某点不光滑（不可导），则其导数在该点不连续。原函数有渐近线，则其导数也会有渐近线，只不过导数的渐近线没有原函数的渐近线那么陡。

微分 $\frac{dy}{dx}$#

• 求导法则 [6.1]

  • 加法法则：$\frac{d}{dx}(u+v)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$
  • 乘法法则：$\frac{d}{dx}(uv)=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}$
  • 乘法法则：$\frac{dy}{dx}(uvw)=\frac{du}{dx}vw+u\frac{dv}{dx}w+uv\frac{dw}{dx}$
  • 除法法则：$\frac{dy}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{\frac{du}{dx}v-u\frac{dv}{dx}}{u^2}$
  • 链式法则：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$
  • 链式法则：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}\frac{dv}{du}\frac{du}{dx}$

• 多项式函数的导数 [6.1]

  • 线性函数：$\frac{d}{dx}(mx+b)=m$
  • 幂函数：$\frac{d}{dx}(x^a)=ax^{a-1}$
  • 常数函数：$\frac{d}{dx}(C)=0$
  • 幂函数的常数倍：$\frac{d}{dx}(Cx^a)=Cax^{a-1}$。

• 指数和对数函数的导数 [9.5]

  • $\frac{d}{dx}log_b(x)=\frac{1}{x ln(b)}$
  • $\frac{d}{dx}log_e(x)=\frac{1}{x}$
  • $\frac{d}{dx}(b^x)=b^x ln(b)$
  • $\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$

• 三角函数的导数 [7.2]

  • $\frac{d}{dx}sin(x)=cos(x)$
  • $\frac{d}{dx}cos(x)=-sin(x)$
  • $\frac{d}{dx}tan(x)=sec^2(x)$
  • $\frac{d}{dx}cot(x)=-csc^2(x)$
  • $\frac{d}{dx}sec(x)=sec(x)tan(x)$
  • $\frac{d}{dx}csc(x)=-csc(x)cot(x)$
  • (记忆：$cos/cot/csc$的导数是正常函数形式，前面加上一个负号)
  • $\frac{d^2}{dx^2}sin(x)=-sin(x)$

• 反三角函数的导数 [10.2]

  • $\frac{d}{dx}sin^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，其中$x \in (-1, 1)$
  • $\frac{d}{dx}cos^{-1}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，其中$x \in (-1, 1)$
  • $\frac{d}{dx}tan^{-1}(x)=\frac{1}{1+x^2}$，其中$x \in \mathbb{R}$
  • $\frac{d}{dx}cot^{-1}(x)=-\frac{1}{1+x^2}$，其中$x \in \mathbb{R}$
  • $\frac{d}{dx}sec^{-1}(x)=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$，其中$x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$
  • $\frac{d}{dx}csc^{-1}(x)=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$，其中$x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$

• 双曲函数的导数 [9.8.2]

  • $\frac{d}{dx}sinh(x)=cosh(x)$
  • $\frac{d}{dx}cosh(x)=sinh(x)$
  • $\frac{d}{dx} tanh(x)=sech^2(x)$
  • $\frac{d}{dx} coth(x)=-csch^2(x)$
  • $\frac{d}{dx} sech(x)=-sech(x) tanh(x)$
  • $\frac{d}{dx} csch(x)=-csch(x) coth(x)$

• 反双曲函数的导数 [10.3]

  • $\frac{d}{dx}sinh^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，其中$x \in \mathbb{R}$
  • $\frac{d}{dx}cosh^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$，其中$x \in [1,\infty)$
  • $\frac{d}{dx}tanh^{-1}(x)=\frac{1}{1-x^2}$，其中$x \in (-1,1)$
  • $\frac{d}{dx}coth^{-1}(x)=\frac{1}{1-x^2}$，其中$x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$
  • $\frac{d}{dx}sech^{-1}(x)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$，其中$x \in (0,1)$
  • $\frac{d}{dx}csch^{-1}(x)=-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$，其中$x \in \mathbb{R} \setminus {0}$

微分应用#

• 相关变化率：量$Q$的变化率是$Q$关于时间的导数，即$\frac{dQ}{dt}$ [8]
• 隐函数求导：无需特意写成关于$t$的函数再取导，对方程（隐函数）两边同时对$t$取导数，即可以得出某个变量的变化率 [8]
• 指数增长与衰变 [9.7]
  • 如果一个量变化的速率取决与这个量的大小，即$\frac{dy}{dx}=ky$，那么$y=Ae^{kx}$，其中A为常数，$k$称为增长常数。
  • 指数增长方程：$P(t)=P_0 e^{kt}$，$P_0$是初始的总数，$k$是增长常数
  • 指数衰退方程：$P(t)=P_0 e^{-kt}$，$P_0$是初始的总数，$-k$是衰变常数
  • 对于半衰期为$t_{1/2}$的放射性衰变，$P(t)=P_0 e^{-kt}$，其中$k=\frac{ln(2)}{t_{1/2}}$
• 反函数的导数：如果$y=f^{-1}(x)$，则$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f’(y)}=\frac{1}{f’(f^{-1}(x))}$ [10.1]

导数和图像#

• 函数的极值 [11.1]
  • 临界点：如果函数$x=x$处的导数为零或导数不存在，我们就称为$x=c$为临界点。
  • 极值定理：假设函数$f$定义在开区间$(a,b)$内，并且$c \in (a,b)$，如果$c$为函数的局部最大值或最小值，那么点$c$一定为该函数的临界点。
  • 最值一定是临界点，临界点不一定是最值（想象函数$y=x^3$的$0$点处）。
  • 在一个闭区间内，局部最大值或最小值只可能出现在临界点或该区间的端点。
  • 求最值的方法：在导数为零的点和端点中，计算函数值，找到最大值和最小值。
• 相关定理 [11.2]
  • 罗尔定理：假设函数$f$在闭区间$[a,b]$内连续，在开区间$(a,b)$内可导，如果$f(a)=f(b)$， 那么在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f’(x)=0$。（可通过中值定理导出）
  • 中值定理：假设函数$f$在闭区间$[a,b]$内连续，在开区间$(a,b)$内可导，那么在开区间$(a,b)$内至少有一点$c$使得$f’(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。（即点$c$的斜率）
  • 推论1：如果对于在定义域$(a,b)$内的所有$x$，都有$f’(x)=0$，那么函数$f$在开区间$(a,b)$内常数函数。
  • 推论2：如果对于任意实数都有$f’(x)=g’(x)$，那么有$f(x)=g(x)+C$（$C$为常数）。
• 二阶导数和图像 [11.3]
  • 拐点：函数图像从凹向上（下）变为凹向下（上）的点称为拐点。
  • 水平拐点：不仅是拐点，且通过该点的切线也是水平的。
  • 拐点处的切线：拐点处的切线把函数图像分为一上一下两部分。
  • 如果$x=c$是函数$f$的拐点，则一定有$f’’(c)=0$。但如果$f’’(c)=0$，则$x=c$未必是函数$f$的拐点。
• 对导数为零点的分类 [11.4]
  • 导数为零的可能性：当$f’(c)=0$，则对于点$c$有以下的可能性：
    • $c$为局部最大值
    • $c$为局部最小值
    • $c$为水平拐点
  • 情况判断 - 使用一阶导数：假设$f’(c)=0$，
    • 如果从左往右通过$c$点，$f’(x)$的符号由正变负，那么$c$点为局部最大值
    • 如果从左往右通过$c$点，$f’(x)$的符号由负变正，那么$c$点为局部最小值
    • 如果从左往右通过$c$点，$f’(x)$的符号不发生变化，那么$c$点为水平拐点
  • 情况判断 - 使用二阶导数：假设$f’(c)=0$，
    • 如果$f’’(c) < 0$（向下凹），那么$c$点为局部最大值
    • 如果$f’’(c) > 0$（向上凹），那么$c$点为局部最小值
    • 如果$f’’(c)=0$，那么无法判断，需要使用一阶导数判断
• 绘制导数图像 [12]
  • 原理：用极限去找渐进线，用一阶导数去找极大值和极小值，使用二阶导数去找函数的凹凸性
  • 函数符号表格：找到函数、其一阶导数、其二阶导数的零点和不连续点，以及它们之间的随意点，分别判断他们的正负、斜上斜下、凹凸性
  • 绘制函数图像的全面方法：
    • 定义域和对称性
    • $y$轴截距：让$x=0$求$y$
    • $x$轴截距：让$y=0$求$x$
    • 垂直渐近线（或可去不连续点）：分母为0的位置
    • 水平渐近线：$lim_{x \to \infty} f(x)$和$lim_{x \to -\infty} f(x)$
    • 函数的正负
    • 一阶导数的正负和临界点
    • 二阶导数的正负和拐点

最优化和线性化#

• 最优化 [13.1]
  • 最优化：列出目标函数，在一阶导数为零的临界点中寻找最大值或最小值，通过二阶导数的正负校验是否为最大值或最小值。
• 线性化 [13.2]
  • 线性化：线性函数$L(x)=f(a)+f’(a)(x-a)$被称为函数$f$在$x=a$处的线性化函数。（使用了直线的点斜式表示）
  • 线性化求模拟值：通过某一点的切线函数求切点附近的模拟值。$f(x) \approx L(x)=f(a)+f’(a)(x-a)$，$a$为切点，$f(x)$为原函数，$L(x)$为函数$f(x)$在$x=a$处的线性化函数。
  • 微分：$f(a+\Delta x) \approx f(a)+f’(a)\Delta x$，其中$df=f’(a) \Delta x$被称为函数$f$在$x=a$处的微分，表示当$x=a \to a+ \Delta x$时$f$变化量的近似值。
  • 模拟值误差$r(x)=f(x)-L(x)=\frac {1}{2} f’’(c)(x-a)^2$，其中$c \in (x,a)$，通过$f’’(c)$的正负号可以判断模拟值偏大（高估）还是偏小（低估）。
• 牛顿法 [13.3]
  • 牛顿法：假设$a$是对方程$f(x)=0$的解的一个近似，如果令$b=a-\frac{f(a)}{f’(a)}$，则在很多情况下，$b$是个比$a$更好的近似。
  • 失效的四种情况：
    • $f’(a)$的值接近于$0$，为了避免出现这种情况，要确保初始猜测不在函数$f$的临界点附近
    • 如果$f(x)=0$有不止一个解，可能得到的不是你想要的那个解
    • 陷入循环一直重复，无法更进一步
    • 近似值有可能会变得越来越偏离
• 通过洛必达法则求极限 [14]
  • 极限的主要形式：
    • A型$\frac{0}{0}$, $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$（称为不定式）：$\lim_{x \to a} \frac {f(x)}{g(x)}$
    • B1型$\pm(\infty - \infty)$：$\lim_{x \to a} (f(x)-g(x))$
    • B2型$0 \times \pm \infty$：$\lim_{x \to a} f(x)g(x)$
    • C型$1^{\pm \infty}$, $0^0$, $\infty^0$：$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)}$
    • B1 -> A, C -> B2 -> A
  • $\frac{0}{0}$型极限：如果$f(a)=g(a)=0$，那么$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}$（通过点$a$的线性化$f(x) \approx f(a)+f’(a)(x-a)$和$g(x) \approx g(a)+g’(a)(x-a)$得出）
  • $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$型极限：照样可以使用洛必达法则。
  • B1型可以尝试分子分母同时乘以除以一个共轭表达式，转换成A型后使用洛必达法则。
  • B2型可以尝试把较简单的一个因子取倒数移动到分母，转换成A型后使用洛必达法则。
  • C型可以取对数后化成B2型，之后尝试转换成不定式后使用洛必达法则，得到极限后取指数。

积分基础 $\int$#

[15.1]

• 定积分和不定积分 [17.4]

  • 定积分: 有积分上下限的为定积分$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$（$F$为$f$的任一反导数），代表一个数。
  • 不定积分: 没有积分上下限的为不定积分$\int f(x)dx=F(x)+C$（$C$为任意常数，$F$为$f$的任一反导数），代表一个函数集合。

• 定积分的概念：$\int_a^b f(x)dx$，表示函数$f(x)$对于$x$从$a$到$b$的积分，$f(x)$称为被积函数，$a$和$b$称为积分极限或积分端点，$dx$表示对$x$进行积分。 [16.1]

• 定积分的意义：$\int_a^b f(x)dx$，表示由曲线$y=f(x)$，两条垂线$x=a$和$x=b$，以及$x$轴所围成的有向面积（平方单位）。 [16.1]

• 定积分的定义：$\int_a^b f(x)dx=\lim_{mesh \to 0} \sum_{j=1}^n f(c_j)(x_j-x_{j-1})$，其中$a=x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n=b$，并且对每一个$j=1,\dots,n$都有$c_j$在$[x_{j-1},x_j]$内。[16.2]

  • 其中$\sum_{j=1}^n f(c_j)(x_j-x_{j-1})$称为黎曼和。
  • 积分符号$\int$可以理解成$\sum$，只不过是当$mesh \to 0$时的极限

• 定积分的性质：对于可积函数$f$和$g$，任意常数$a$，$b$，$c$

  • 对调积分上下限：$\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$ [16.3]
  • 积分上下限相等：$\int_a^a f(x)dx=0$ [16.3]
  • 可以把积分表达式切开：$\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$ [16.3]
  • 常数可以被移到积分表达式的外面：$\int cf(x)dx=c\int f(x)dx$ [17.6]
  • 和差的积分等于积分的和差：$\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$ [17.6]
  • 常数的定积分：$\int_a^b cdx=c(b-a)$ [16.1]
  • 奇函数的定积分：如果$f(x)$为奇函数，$\int_{-a}^a f(x)dx=0$（可通过换元法把$x$替换为$-t$得到） [16.1,18.1]

• 位移：$\int_a^b v(t)dt$ [16.1]

• 路程：$\int_a^b |v(t)|dt$ [16.1]

• 面积 [16.4]

  • 求通常的面积$\int_a^b |f(x)|dx$：
    • 找出在$[a,b]$区间内满足$f(x)=0$的所有$x$的值（$0$值点）；
    • 在$a$点、所有$0$值点、$b$点所做成的所有相邻区间内求函数$f(x)$的积分；
    • 对各个积分的绝对值求和。
  • 求两条曲线之间的面积：$\int_a^b |f(x)-g(x)|dx$，注意要使用$f(x)-g(x)$的零值点分段求解。
  • 求曲线与$y$轴所围成的面积：如果$f(x)$存在反函数，由函数$y=f(x)$、直线$y=A$、直线$y=B$、$y$轴所围成的面积为$\int_A^B f^{-1}(y)dy$

• 积分估算 [16.5]

  • 如果对于在区间$[a,b]$内的所有$x$都有$f(x) \le g(x)$，那么$\int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx$
  • 如果对于在区间$[a,b]$内的所有$x$都有$m \le f(x) \le M$，那么$m(b-a) \le \int_a^b f(x)dx \le M(b-a)$

• 函数的平均值：函数$f$在区间$[a,b]$内的平均值为$\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx$ [16.6]

• 积分的中值定理：如何函数$f$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内总有一点$c$满足$(b-a)f(c)=\int_a^b f(x)dx$ [16.6]

• 可积函数：与可导的情况不同，即使是不连续的函数，只要它有有限个不连续的点，该函数也是可积的，也就是说定积分$\int_a^b f(x)dx$存在。[16.7]

不定积分#

• 定积分通式：$F(x)=\int_a^x f(t)dt$，表示由曲线$y=f(t)$、$t$轴、$t=a$、$t=x$围成区域的面积。其中$t$称为虚拟变量。[17.1]

• 积分下限变换：把积分下限从一个常数换至另一个常数，变化前后只相差一个常数：设$F(x)=\int_a^x f(t)dt$，$H(x)=\int_b^x f(t)dt$，$C$为常数，那么$F(x)=\int_a^b f(t)dt + \int_b^x f(t)dt = H(x) + C$ [17.1]

• 微积分的第一基本定理：如果函数$f$在闭区间$[a,b]$上是连续的，定义$F(x)=\int_a^x f(t)dt, x \in [a,b]$，则$F$在开区间$(a,b)$内是可导函数，而且$F’(x)=f(x)$，即$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt=f(x)$。（通过展开$F’(x)=\lim_{h \to 0} = \frac{F(x+h)-F(x)}{h}$证明）[17.2]

• 求定积分的思路：设$f(x)$的反导数是$F(x)$，因为$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt=f(x)$，所以$\int_a^x f(t)dt=F(x) + C$（$C$为任意常数）。通过代入$x=a$可求得$C=-F(a)$，所以$\int_a^x f(t)dt = F(x) - F(a)$。[17.2]

• 微积分的第二基本定理：如果函数$f$在闭区间$[a,b]$上是连续的，$F$是$f$的任意一个反导数（关于$x$），那么有$\int_a^b f(x)dx = F(b) -F(a)$，记为$F(x)\big|_a^b$。[17.3]

• 求反导数的思路：因为$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt=f(x)$，所以函数$f(x)$的反导数为$\int_a^x f(t)dt$（$a$为任意常数）。[17.2]

• 反导数的集合：如果$\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$，那么$\int f(x)dx=F(x)+C$，表示函数$f(x)$的反导数的集合（有无限多个）。[17.4]

• 函数导数的积分就是这个函数本身：$\int_a^b \frac{d}{dx} F(x)dx=F(x) \big|_a^b$。[17.4]

• 不定积分公式 [17.6]

  Differential Calculus	Integral Calculus
  $\frac{d}{dx} x^a = ax^{a-1}$	$\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1}+C$ (if $a \neq -1$)
  $\frac{d}{dx} ln(x)=\frac{1}{x}$	$\int \frac{1}{x} dx = ln
  $\frac{d}{dx} e^x = e^x$	$\int e^x dx = e^x + C$
  $\frac{d}{dx} b^x = b^x ln(b)$	$\int b^x dx = \frac{b^x}{ln(b)}+C$
  $\frac{d}{dx} sin(x) = cos(x)$	$\int cos(x) dx = sin(x) + C$
  $\frac{d}{dx} cos(x) = -sin(x)$	$\int sin(x) dx = -cos(x) + C$
  $\frac{d}{dx} tan(x) = sec^2(x)$	$\int sec^2(x) dx = tan(x) + C$
  $\frac{d}{dx} sec(x) = sec(x)tan(x)$	$\int sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C$
  $\frac{d}{dx} cot(x) = -csc^2(x)$	$\int csc^2(x) dx = -cot(x) + C$
  $\frac{d}{dx} csc(x) = -csc(x)cot(x)$	$\int csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C$
  $\frac{d}{dx} sin^{-1}(x)= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = sin^{-1}(x) + C$
  $\frac{d}{dx} tan^{-1}(x)= \frac{1}{1+x^2}$	$\int \frac{1}{1+x^2} dx = tan^{-1}(x) + C$
  $\frac{d}{dx} sec^{-1}(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$	$\int \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} dx = sec^{-1}(x) + C$
  $\frac{d}{dx} sinh(x) = cosh(x)$	$\int cosh(x) dx = sinh(x) + C$
  $\frac{d}{dx} cosh(x) = sinh(x) $	$\int sinh(x) dx = cosh(x) + C$

  • 微分时，如果用$ax$替代$x$，那么每一个相应的公式乘以$a$就可以了；
    
  • 积分时，如果用$ax$替代$x$，那么每一个相应的公式乘以$\frac{1}{a}$就可以了。

• 积分的方法:

  • 换元法：使用$t$替换掉被积函数的的一部分，计算不定积分后，再用$x$相关的函数替换回$t$得到原函数的不定积分。[18.1]

    • $\int \frac{f’(x)}{f(x)} dx=ln|f(x)|+C$，可通过换元法把$f(x)$替换为$t$计算得到：因为$\frac{dt}{dx} = f’(x)$，从而化为$\int \frac{1}{t} dt$ [18.1]
    • $\int \frac{f’(x)}{f^n(x)} dx=(-n+1)f^{(-n+1)}(x)+C$，可通过换元法把$f(x)$替换为$t$计算得到：因为$\frac{dt}{dx} = f’(x)$，从而化为$\int t^{-n+1} dt$ [18.1]
    • $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$，通过分子分母同时除以$a^2$再把$\frac{x}{a}$替换为$t$，再利用$\frac{d}{dx} tan^{-1}(x)= \frac{1}{1+x^2}$计算得到 [18.3]

  • 分部积分法：利用导数的乘法法则可以得到$\int f(x)g’(x)dx=f(x)g(x)-\int g(x)f’(x)dx$，记忆简写为$\int udv = uv - \int vdu$（对导数的乘法公式两边同时取不定积分得到）。[18.2]

  • 部分分式法：将有理函数$\frac{g(x)}{f(x)}$分解为部分分式的形式，然后对每个部分分式求不定积分，最后将所有积分结果相加，分解部分分式的方法：[18.3]

    • 通过多项式除法确保函数分子的次数小于分母的次数
    • 对分母进行因式分解
    • 按分母写成部分分式的形式：
      • $\frac{X}{(x+a)} \mapsto \frac{A}{x+a}$
      • $\frac{X}{(x+a)^2} \mapsto \frac{A}{(x+a)^2} + \frac{B}{x+a}$
      • $\frac{X}{(x+a)^3} \mapsto \frac{A}{(x+a)^3} + \frac{B}{(x+a)^2} + \frac{C}{x+a}$
      • $\frac{X}{(x+a)^4} \mapsto \frac{A}{(x+a)^4} + \frac{B}{(x+a)^3} + \frac{C}{(x+a)^2} + \frac{D}{x+a}$
      • $\frac{X}{(x^2+ax+b)} \mapsto \frac{Ax+B}{(x^2+ax+b)}$
    • 求出常数A、B、C、D：通过$x$换值法或系数相等法
    • 对前4种情况，使用换元法求积分
    • 对第5种情况，尝试因式分解后化成部分分式，如不能因式分解则把分母写成平方的形式（配方，如最高项系数不为1，先提取最高项系数），换元，再化成部分分式，最后积分

• 三角积分：

  • 可以通过以下公式化解平方根：
    • 倍角公式：
      • $cos^2(x)=\frac{1}{2}(1+cos(2x))$
      • $sin^2(x)=\frac{1}{2}(1-cos(2x))$
    • 毕达哥拉斯定理：
      • $sin^2(x)+cos^2(x)=1$
      • $1+tan^2(x)=sec^2(x)$
      • $1+cot^2(x)=csc^2(x)$
  • 可以通过积化和差公式化解三角函数的积：
    • $cos(A)cos(B)=\frac{1}{2}(cos(A-B)+cos(A+B))$
    • $sin(A)sin(B)=\frac{1}{2}(cos(A-B)-cos(A+B))$
    • $sin(A)cos(B)=\frac{1}{2}(sin(A-B)+sin(A+B))$
  • 对分母是$1+trig(x)$或$1-trig(x)$的，可以分子分母同乘以其共轭表达式化解（$trig(x)$表示任意三角函数）
  • $sin$或$cos$的幂：
    • 有奇次幂的，拆开一项（优先低次幂项）与$dx$搭配，剩下的利用毕达哥拉斯定理化成同一个三角函数，以多项式方式展开求解
    • 只有偶次幂的，以倍角公式降幂处理
  • $sin$的幂（约化公式）：
    • $ \int sin(x) dx = -cos(x) + C $
    • $ \int sin^2(x) dx = \int \frac{1}{2} (1-cos(2x)) dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} sin(2x) + C$ （倍角公式）
    • $ \int sin^n(x) dx $（when $n \ge 2$）
      • $ = \int sin(x)sin^{n-1}(x) dx $
      • $ = - sin^{n-1}(x)cos(x) + (n-1) \int cos^{2}(x)sin^{n-2}(x) dx $（分部积分法）
      • $ = - sin^{n-1}(x)cos(x) + (n-1) \int (1-sin^2(x))sin^{n-2}(x) dx $
      • $ = - sin^{n-1}(x)cos(x) + (n-1) \int sin^{n-2}(x) dx - (n-1) \int sin^{n}(x) dx $
      • $ \implies \int sin^n(x) dx = - \frac{1}{n} sin^{n-1}(x)cos(x) + \frac{n-1}{n} \int sin^{n-2}(x) dx $
  • $cos$的幂（约化公式）：
    • $ \int cos(x) dx = sin(x) + C $
    • $ \int cos^2(x) dx = \int \frac{1}{2} (1+cos(2x)) dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} sin(2x) + C$ （倍角公式）
    • $ \int cos^n(x) dx $（when $n \ge 2$）
      • $ = \int cos(x)cos^{n-1}(x) dx $
      • $ = cos^{n-1}(x)sin(x) + (n-1) \int sin^{2}(x)cos^{n-2}(x) dx $（分部积分法）
      • $ = cos^{n-1}(x)sin(x) + (n-1) \int (1-cos^2(x))cos^{n-2}(x) dx $
      • $ = cos^{n-1}(x)sin(x) + (n-1) \int cos^{n-2}(x) dx - (n-1) \int cos^{n}(x) dx $
      • $ \implies \int cos^n(x) dx = \frac{1}{n} cos^{n-1}(x)sin(x) + \frac{n-1}{n} \int cos^{n-2}(x) dx $
  • $tan$的幂（约化公式）：
    • $ \int tan(x) dx = \int \frac{sin(x)}{cos(x)} dx = -ln|cos(x)| + C $ (设$t=cos(x)$)
    • $ \int tan^2(x) dx = \int (sec^2(x)-1) dx = tan(x) - x + C$
    • $ \int tan^n(x) dx $（when $n \ge 2$）
      • $ = \int (sec^2(x)-1) tan^{n-2}(x) dx $
      • $ = \int tan^{n-2}(x)sec^2(x)dx - \int tan^{n-2}(x)dx $
      • $ = \frac{1}{n-1}tan^{n-1}(x) - \int tan^{n-2}(x)dx $
  • $cot$的幂（约化公式）：
    • $ \int cot(x) dx = \int \frac{cos(x)}{sin(x)} dx = ln|sin(x)| + C $ (设$t=sin(x)$)
    • $ \int cot^2(x) dx = \int (csc^2(x)-1) dx = cot(x) - x + C$
    • $ \int cot^n(x) dx $（when $n \ge 2$）
      • $ = \int (csc^2(x)-1) cot^{n-2}(x) dx $
      • $ = \int cot^{n-2}(x)csc^2(x)dx - \int cot^{n-2}(x)dx $
      • $ = \frac{1}{n-1}cot^{n-1}(x) - \int cot^{n-2}(x)dx $
  • $sec$的幂（约化公式）：
    • $ \int sec(x) dx = \int \frac{sec(x)tan(x) + sec^2(x)}{sec(x) + tan(x)} dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C $
    • $ \int sec^2(x) dx = tan(x) + C $
    • $ \int sec^{n}(x) dx $（when $n \ge 2$）
      • $ = \int sec^2(x)sec^{n-2}(x) dx $
      • $ = sec^{n-2}(x)tan(x) - (n-2) \int sec^{n-2}(x)tan^2(x) dx $（分部积分法）
      • $ = sec^{n-2}(x)tan(x) - (n-2) \int sec^{n-2}(x)(sec^2(x)-1) dx $
      • $ = sec^{n-2}(x)tan(x) - (n-2) \int sec^n(x) dx + (n-2) \int sec^{n-2}(x) dx $
      • $ \implies \int sec^n(x) dx = \frac{1}{n-1} sec^{n-2}(x)tan(x) + \frac{n-2}{n-1} \int sec^{n-2}(x) dx $
  • $csc$的幂（约化公式）：
    • $ \int csc(x) dx = \int \frac{csc(x)cot(x) + csc^2(x)}{csc(x) + cot(x)} dx = -ln|csc(x) + cot(x)| + C $
    • $ \int csc^2(x) dx = -cot(x) + C $
    • $ \int csc^{n}(x) dx $（when $n \ge 2$）
      • $ = \int csc^2(x)csc^{n-2}(x) dx $
      • $ = - csc^{n-2}(x)cot(x) - (n-2) \int csc^{n-2}(x)cot^2(x) dx $（分部积分法）
      • $ = - csc^{n-2}(x)cot(x) - (n-2) \int csc^{n-2}(x)(csc^2(x)-1) dx $
      • $ = - csc^{n-2}(x)cot(x) - (n-2) \int csc^n(x) dx + (n-2) \int csc^{n-2}(x) dx $
      • $ \implies \int csc^n(x) dx = - \frac{1}{n-1} csc^{n-2}(x)cot(x) + \frac{n-2}{n-1} \int csc^{n-2}(x) dx $

• 三角换元法的积分：

  • $\sqrt{a^2-x^2}$：设$x=asin(\theta)$换元，把$\theta,a,x$的关系看成$\theta$的对边为$a$斜边为$x$邻边为$\sqrt{x^2-a^2}$的直角三角形
  • $\sqrt{x^2+a^2}$：设$x=atan(\theta)$换元，把$\theta,a,x$的关系看成$\theta$的对边为$x$邻边为$a$斜边为$\sqrt{x^2+a^2}$的直角三角形
  • $\sqrt{x^2-a^2}$：设$x=asec(\theta)$换元，把$\theta,a,x$的关系看成$\theta$的邻边为$a$斜边为$x$对边为$\sqrt{x^2-a^2}$的直角三角形
  • 对于$\sqrt{ax^2+bx+c}$，可以通过配方、换元化成以上形式

反常积分#

• 反常积分定义：出现以下情况，$\int_a^b f(x)dx$就是反常积分
  • 函数$f$在闭区间$[a,b]$内无界（无界处成为暴裂点，就好像包裹的函数被暴裂了一样，里面的积分就溢出）
  • $b=\infty$
  • $a=-\infty$
• 反常积分思路：
  • 针对破裂点：
    • 如果函数$f(x)$仅仅在$x$接近于$a$点时无界，则$\int_a^b f(x)dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a+\epsilon}^b f(x)dx$
    • 如果函数$f(x)$仅仅在$x$接近于$b$点时无界，则$\int_a^b f(x)dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a}^{b-\epsilon} f(x)dx$
    • 如果函数$f(x)$仅仅在区间$(a,b)$内的$c$点无界，则积分可分成两部分$\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$，可化了成前面的两种情况
  • 针对边界无穷大:
    • 如果函数$f(x)$在区间$[a,\infty)$上没有其他破裂点，则$\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{N \to \infty} \int_a^N f(x)dx$
    • 如果函数$f(x)$在区间$(-\infty,b]$上没有其他破裂点，则$\int_{-\infty}^b f(x)dx = \lim_{N \to \infty} \int_{-N}^b f(x)dx$
    • 如果函数$f(x)$在区间$(-\infty,\infty)$上没有其他破裂点，则$\int_{-\infty}^\infty f(x)dx = \lim_{N \to \infty} \int_{-N}^a f(x)dx +\lim_{N \to \infty} \int_a^N f(x)dx$
• 反常积分办法：
  • 比较判别法：
    • 如果 $\int_a^b f(x)dx \ge \int_a^b g(x)dx = \infty$，$\int_a^b f(x)dx$ 一定发散。
    • 如果 $\int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx < \infty$，$\int_a^b f(x)dx$ 一定收敛。
    • 对所有的$x>0$，$e^{-x} \le \frac{C}{x^n}$，让后利用比较判别法（因为$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$，可以把$C$理解成函数$f(x)=\frac{x^n}{e^x}$的最大值；$x$也可以替换为当$x \to \infty$时，$p(x) \to \infty$的多项式$p(x)$）
  • 极限比较判别法：
    • 渐近线等价：当$x \to a$时，$f(x) \color{red} \sim \color{black} g(x)$表示$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$
      • 这并不是说明当$x$接近于$a$时，$f(x)$大约等于$g(x)$（它们可能相差数百万），而是说明当$x$接近于$a$时，$f(x)$和$g(x)$的比值接近于1。
      • 渐近线等价的函数的积仍为渐近线等价，但加减却不成立。
    • 极限比较判别法：如果当$x \to a$时$f(x) \sim g(x)$，且这两个函数在区间$[a,b]$上没有其他的暇点了，那么积分$\int_a^b f(x)dx$和$\int_a^b g(x)dx$会同时收敛或同时发散（虽然同时收敛，可收敛值不一定相等）。
  • $p$ 判别法，对于任何有限值$a>0$，
    • 当$p<1$时，积分$\int_0^a \frac{1}{x^p} dx$收敛
    • 当$p>1$时，积分$\int_a^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$收敛
    • 其它情况都发散
  • 绝对收敛判别法：如果积分$\int_a^b |f(x)| dx$收敛，那么$\int_a^b f(x) dx$也一定收敛。这对$\int_a^{\infty} |f(x)| dx$同样适用。
• 解题思路：
  • 确保被积函数为正：通过取反、绝对收敛判别法
  • 没有瑕点的积分，都是收敛的
  • 有瑕点的积分：
    1. 确定区间$[a,b]$上的所有瑕点
    2. 将积分拆分成若干积分之和，使得每个积分至多有一个瑕点，并且瑕点在积分的上限或下限处
    3. 只有全部分部积分都收敛积分才收敛