定义#

两家工厂生产螺丝，标准长度 10mm，各抽 5 个样品：

标准差（standard deviation）就是衡量一组数据偏离平均值的平均波动幅度。数字越大数据越乱、起伏大、不稳定；数字越小数据集中、波动小、一致性高。

符号：

计算#

总体标准差 $\sigma$（全部产品，完整数据）

\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2}{n}} \]

$\mu$ 为真实总体均值

样本标准差 $s$（只抽一部分样品检测，工厂质检常用）

\[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}{n-1}} \]

$\bar{x}$ 为样本均值

为什么分母用 $n-1$ 修正误差

总体标准差 $\sigma$ 分母使用 $n$，因为均值 $\mu$ 是真实总体均值，无误差。

样本标准差 $s$ 只抽一小部分样品，只能用样本均值 $\bar{x}$ 替代真实总体均值 $\mu$，
但样本均值 $\bar{x}$ 是由这 n 个样本自己算出来的，它会自动往样本中间靠，导致

\[ \sum(x_i-\bar{x})^2 \le \sum(x_i-\mu)^2 \]

即用样本均值 $\bar{x}$ 计算出来的标准差天生偏小。

我们计算样本均值 $\bar{x}$ 时，

\[ \bar{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \]

如果 $\bar{x}$ 和 $x_1+x_2+…+x_{n-1}$ 已经确定，那么 $x_n$ 也一定是被确定了的，也就是说，真正独立有效的信息只有 $n-1$ 份，因此计算偏差平方和时，分母要除以有效自由度 $n-1$，而不是全部样本数 $n$。

事实上，设样本偏差平方和：

\[ SS=\sum(x_i-\bar{x})^2 \]

可以证明数学期望：

\[ E\left[\frac{SS}{n-1}\right]=\sigma^2 \]

方差（variance）为偏差平方后的平均数，计算公式：

\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}{n} \]

方差 = 差（与平均值的差）的平方

单位是原数据的平方。

标准差为方差开根号，单位和原始数据一致，方便业务解读。

正态分布（Normal distribution，又称为常态分布或高斯分布）是最常见的分布，很多自然现象的统计都符合正态分布。

正态分布的概率密度函数显示为典型的钟形曲线，通常记作 $N(\mu,\sigma^2)$

正态分布对方差倍数的范围内覆盖的数据有一定的规律：

工业 6σ 会额外考虑 1.5σ 过程偏移，覆盖率为 99.99966%，不良率约 3.4 DPMO（Defects Per Million Opportunities，每百万次操作机会的缺陷数）。

监控时序数据的异常值：采用滚动窗口计算正常数据的基线（比如取过去 7 天数据计算 μ 和 σ），如果新数据超出了基准 μ 的 ±3σ（只有 0.27% 的低概率），则判断为异常值。

区别与常规的阈值判断，标准差 σ 的优势是自适应基线，以设备自身历史行为作为判断标准，只要波动偏离自身常态（例如超出 ±3σ），提前预警故障，而不是单纯看绝对值高低。

但长期放任异常，任由其滚动刷新基线，基线均值会被拉低、σ 会变大，异常数值被纳入新 “正常范围”，告警消失。

为了避免基线走偏，时序监控系统会避免使用故障数据更新基线。