线性回归模型是一个朴素而强大的工具，可以帮我们发现潜藏于大量数据下，各个因素相对目标变量的线性规律。
一元线性回归模型#
先看一个最简单的问题：每周运动时间和预期寿命的关系。
假设我们统计了200个人的每周运动时长和最终寿命，把数据画成散点图：横轴是每周运动小时数，纵轴是寿命。
世界卫生组织（WHO）推荐的成人每周运动时长为中等强度2.5~5小时，或高强度1.25~2.5小时，额外搭配2次力量训练（适用于18~64岁成年人）。
就如图中红线所示，我们会发现一个模糊但明显的趋势：运动时间越长的人，寿命大概率也越长。
线性回归要做的，就是在这些散点中，画一条最贴合的直线，即找到运动时长与寿命的关系。
这条直线的方程可以写成：
\[ \hat{y} := wx + b \]其中
- $\hat{y}$：预期寿命
- $x$：每周运动小时数
- $w$：权重系数（weight），代表运动时长对寿命的影响程度，值越大，说明运动对寿命的提升作用越明显
- $b$：截距项（bias），可以理解为基础寿命值，哪怕一个人完全不运动，也能拥有的寿命基数
$w$和$b$是线性回归模型要学习的参数，有了这两个参数值，就可以通过每周运动时长预测一个人的预期寿命。
这个方程就是一句大白话：基础寿命，加上运动带来的增益，就是预期寿命。
当影响因素变多，比如遗传、饮食、吸烟等，线性回归也能轻松应对，只需要为每个影响因素分配对应的权重参数，然后把它们的影响加起来就行，这就是多元线性回归。
多元线性回归模型#
参考《Nature》、《柳叶刀》等顶级期刊的研究结论，筛选出7个影响寿命的因素：
| 影响因素 | 英文名 | 数学变量 | 量化方式 |
|---|---|---|---|
| 父母平均寿命 | parent_lifespan | $x_1$ | 连续变量（岁），比如父母平均寿命75岁 |
| 性别 | gender | $x_2$ | 分类变量（0=男性，1=女性） |
| 每周中等强度运动时长 | exercise_hours | $x_3$ | 连续变量（小时），范围0~10小时 |
| 是否长期吸烟 | smoking | $x_4$ | 分类变量：0=不吸烟，1=长期吸烟 |
| 饮食健康程度 | diet_health | $x_5$ | 分类变量：0=高油高糖高盐，1=低脂低糖低盐 |
| 每日睡眠时长 | sleep_hours | $x_6$ | 连续变量（小时），范围5~9小时 |
| 压力/心理健康水平 | stress_level | $x_7$ | 分类变量：0=长期高压，1=压力适中，2=低压力/社交支持充足 |
上面的因素称为特征，是模型的自变量。
因为我们现在有了更多个因素，所以需要更多个权重系数，分别使用$w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6, w_7$来表示。
所以因变量为预期寿命（actual_lifespan）：
\[ \hat{y} := w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3 x_3 + w_4 x_4 + w_5 x_5 + w_6 x_6 + w_7 x_7 + b \]$w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6, w_7, b$就是我们想求解的权重系数，也叫模型参数，由计算机利用训练数据自动学习得到
知道了权重系数，知道了输入的自变量因素$\boldsymbol{x}$，就可以通过上式计算预测寿命了。
我们已经弄清楚了线性回归模型的概念，接下来看一个完整的实战例子。
关注网页底部公众号，发送"lr01"获取生成以上图表的源代码。