https://techunder.tech/docs/linear-programming/ Recent content in 线性规划 on Techunder Hugo zh-CN https://techunder.tech/docs/linear-programming/linear-programming/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://techunder.tech/docs/linear-programming/linear-programming/ <!-- Copyright © 2026 Techunder (Guanhua Liu) | All Rights Reserved | https://techunder.tech | Email: techunder@163.com --> <div class="page-title">线性规划</div> <div class="page-info"> <span class="original-tag">原创</span> 发布时间：2026-05-07 | 更新时间：2026-06-08 </div> <link rel="stylesheet" href="https://techunder.tech/katex/katex.min.css" /><script defer src="https://techunder.tech/katex/katex.min.js"></script><script defer src="https://techunder.tech/katex/auto-render.min.js" onload="renderMathInElement(document.body, {&#34;delimiters&#34;:[{&#34;left&#34;:&#34;$&#34;,&#34;right&#34;:&#34;$&#34;,&#34;display&#34;:false},{&#34;left&#34;:&#34;$$&#34;,&#34;right&#34;:&#34;$$&#34;,&#34;display&#34;:true},{&#34;left&#34;:&#34;\\[&#34;,&#34;right&#34;:&#34;\\]&#34;,&#34;display&#34;:true}]});"></script> <p><strong>线性规划</strong>（Linear Programming）在工程领域中随处可见，是在有限资源的情况寻找最优解的方法。</p> <blockquote class='book-hint warning'> <p>目标函数和限制条件都必须是线性方程 / 线性不等式（最高次项为1）才能称为线性规划</p></blockquote><p>典型场景：</p> <ul> <li>生产计划：有限原料下最大化利润</li> <li>配送路线：最小化运输成本</li> <li>投资组合：在风险约束下最大化收益</li> <li>人力排班：满足需求下最小化人工成本</li> </ul> <p>下面通过一个简单的例子说明</p> <h1 id="现实例子">现实例子<a class="anchor" href="#%e7%8e%b0%e5%ae%9e%e4%be%8b%e5%ad%90">#</a></h1> <p>某工厂生产两种产品</p> <ul> <li>产品 A: 利润 3 万元/件，消耗资源1: 2 单位，消耗资源2: 1 单位</li> <li>产品 B: 利润 5 万元/件，消耗资源1: 1 单位，消耗资源2: 2 单位</li> </ul> <p>资源 1 总量 10 单位，资源 2 总量 8 单位</p> <p>请问应该如何安排生产，令利润最大化？</p> <h1 id="数学表达">数学表达<a class="anchor" href="#%e6%95%b0%e5%ad%a6%e8%a1%a8%e8%be%be">#</a></h1> <p>线性规划通常把问题拆解如下：</p> <ul> <li> <p><strong>决策变量</strong>：就是求解的目标（decision variables），对应上面的产品 A 的生产数量（设为 $x$）和产品 B 的生产数量（设为 $y$），本例就是求 $argmax_{x,y}\left(3x+5y\right)$</p>