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LaTeX 示例

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

LaTeX 示例

LaTeX 是一种用于描述专业数学公式的语言，广泛应用于学术界和技术领域的专业文档中。

符号 (Symbols)#

Symbol	LaTeX Code	Description
$\text{x}$	\text{x}
$\textbf{x}$	\textbf{x}
$x$	x
$\boldsymbol{x}$	\boldsymbol{x}
$\mathcal{X}$	\mathcal{X}
$\mathfrak{L}$	\mathfrak{L}
$\mathbb{R}$	\mathbb{R}
$\in$	\in
$\cup$	\cup
$\cap$	\cap
$\setminus$	\setminus
$\times$	\times
$\phi$	\phi
$\vert$	\vert
$\Vert$	\Vert
$\infty$	\infty	infinity
$\sim$	\sim
$\tilde{x}$	\tilde{x}
$\hat{y}$	\hat{y}
$\frac{1}{a}$	\frac{1}{a}	fraction
$\lim_{m \to a}$	\lim_{m \to a}	limit
$\sum_{i=1}^{m}$	\sum_{i=1}^{m}
$\int_a^b$	\int_a^b	integral
$F(x)\|_a^b$	F(x)\|_a^b
$F(x)\big\|_a^b$	F(x)\big\|_a^b
$F(x)\bigg\|_a^b$	F(x)\bigg\|_a^b
$F(x)\Bigg\|_a^b$	F(x)\Bigg\|_a^b
$\circ$	\circ	circle
$\circledcirc$	\circledcirc	circled circle
$\pm$	\pm	plus minus
$\cdot$	\cdot	center dot
$\cdots$	\cdots	center dots
$\ldots$	\ldots	low dots
$\ddots$	\ddots	diagonal dots
$\vdots$	\vdots	vertical dots
$\sqrt{a}$	\sqrt{a}	square root
$\epsilon$	\epsilon
$\theta$	\theta
$\Theta$	\Theta
$\Delta$	\Delta
$\nabla$	\nabla
$\implies$	\implies
$\mapsto$	\mapsto
$\to$	\to
$\rightarrow$	\rightarrow
$\leftarrow$	\leftarrow
$\leftrightarrow$	\leftrightarrow
$\neq$	\neq
$\approx$	\approx
$\le$	\le	less equal
$\ge$	\ge	great equal
$\quad$	\quad	quarter, like \t
$\qquad$	\qquad	more quarter, like \t\t
$\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$	\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}	bracket matrix
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}	bracket matrix
$\\|x\\|_2$	\\| x \\|_2	L2 norm
$\left \\| \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \right \\| _2$	\left \\| \begin{bmatrix} a \ b \ c \end{bmatrix} \right \\| _2	L2 norm

微积分 (Calculus)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

Math Calculus

根据《普林斯顿微积分读本（修订版）》整理。这个是一本关于微积分的书，分为微分与积分两部分。

常用知识#

多项式公式
- 平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a+b)$，$a+b$和$a-b$互相为对方的共轭表达式
- 立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
- 和的立方公式：$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
二次方程$ax^2+bx+c=0$的解：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
数列求和：
- $\sum_{j=1}^{n}j=\frac{n(n+1)}{2}$（即前$n$个自然数的和，可以通过两个相同的反序数列相加得出）
- $\sum_{j=1}^{n}(j^2-(j-1)^2)=\sum_{j=1}^{n}(2j-1)=n^2$（即前$n$个奇数的和等于$n^2$，通过展开得出）
- $\sum_{j=1}^{n}j^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$（即前$n$个自然数平方的和，可以通过展开$\sum_{j=1}^{n}(j^3-(j-1)^3)$得出）

函数与图像#

[1]

函数的类型：
- 多项式函数（幂）
- 指数函数和对数函数
- 三角函数和反三角函数
- 双曲函数和反双曲函数
上域与值域：值域实际上是上域的一个子集。上域是可能输出的集合，一般为$\mathbb{R}$，而值域则是实际输出的集合。
数学约束：1）分数的分母不能为零；2）不能取一个负数的偶次方根；3）不能取一个负数或零的对数。
垂线检验：如果你有某个图像，想知道它是否是某个函数的图像，只需看看任何的垂线和图像的相交是否多于一次，函数的图像不会和任何垂线相交多于一次。通过水平线检验判断函数是否有反函数。
反函数：对于$f$值域中的所有$y$，都有$f(f^{-1}(y))=y$；但是$f^{-1}(f(x))$可能不等于$x$；$f^{-1}(f(x))=x$仅当$x$在限制的定义域中才成立（因为一个$y$可能对应多个$x$）。
复合函数：$f(x)=h(g(x))$可以表示为$f=h \circ g$，读作$f$是$g$与$h$的复合。
奇偶函数：如果一个函数$f$是奇的，且在0上有定义，则$f(0)=0$；两个奇函数之积是偶函数，。
线性函数：线性函数$f(x)=mx+b$可以通过点斜式描述，即通过点$(x_0, y_0)$且斜率为$m$的直线为$y-y_0=m(x-x_0)$，如果只知道通过$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$两点，那么可以先计算其斜率$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，再通过点斜式得到。
多项式函数：最简式$p(x)=ax^n$的图像分$n$为奇数或偶数两种类型，多项式通式$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0$的图像中间部分取决与各项，但两侧趋势取决于最高幂项的指数$n$。
有理函数：最简式$\frac{1}{x^n}$的图像分$n$为奇数或偶数两种类型，通式为$\frac{p(x)}{q(x)}$。
指数函数：$y = b^x$的图像分$b > 1$和$0 < b < 1$两种类型，$y = b^{-x}(b > 0)$等同于$y = b^x(0 < b < 1)$。
对数函数：对数函数$y=log_b(x)$是指数函数$y=x^b$的逆函数，对数函数的图像可以通过以直线$y=x$镜子，映射指数函数得出，同样分$b > 1$和$0 < b < 1$两种类型。
绝对值函数：绝对值函数$f(x)=|g(x)|$的图像，以$x$轴为镜子，把$g(x)$在$x$轴下方的图像映照上来，$x$轴上方的图像保持不变。

指数和对数函数#

指数法则 [9.2]:

线性代数 (Linear Algebra)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

Math Linear Algebra

几何体系#

欧氏几何：欧几里得几何，三角形内角和为180度、两点之间直线最短、过直线外一点有且只有一条平行线
非欧几何：应用在球面/马鞍面等，有罗氏几何、椭圆几何等，球面上三角形内角和大于180度、马鞍面上内角和小于180度。
黎曼几何：应用在球面/马鞍面等，广义相对论所用几何，计算时空弯曲。

Matrix Transpose#

矩阵转置

\[ (\mathbf{a}+\mathbf{b})^T = \mathbf{a}^T + \mathbf{b}^T \]\[ (\mathbf{ab})^T = \mathbf{b}^T \mathbf{a}^T \]\[ (\mathbf{abc})^T = \mathbf{c}^T \mathbf{b}^T \mathbf{a}^T \]

Matrix Equation#

\[ \mathbf{ax} = \mathbf{by} \\ \implies \mathbf{x} = \mathbf{a}^{-1} \mathbf{by} \]

Matrix Calculus#

\[ \frac{\partial}{\partial{\mathbf{a}}} \left( \mathbf{a}^T \mathbf{b} \right) = \mathbf{b} \]\[ \frac{\partial}{\partial{\mathbf{a}}} \left( \mathbf{a}^T \mathbf{M} \mathbf{a} \right) = 2 \mathbf{Ma} \]

$L_p$ Norm#

$L_p$ 范数

深度学习 (DL)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

Deep Learning

Notations#

Let $i=1,2,\dots,N$ (the sample index)

Samples $\boldsymbol{x}_i \in \mathcal{X}$ ($\mathbb{R}^d$)
Dataset $\boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{x}_1 \\ \boldsymbol{x}_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{x}_N \end{bmatrix}$
Labels $y_i \in \mathcal{Y}$
Model params $\boldsymbol{\theta} \in \Theta$ (weights, intercept)
Prediction $\hat{y} = f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\theta})$
Loss $L(\hat{y}, y) = (\hat{y} - y)^2$ ($y$ is the ground true)
Empirical risk minimization (ERM) $min_{\boldsymbol{\theta} \in \Theta} J(\boldsymbol{\theta}) := \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N L(\hat{y_i}, y_i)$

化学符号 (Chemical)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

化学符号 (Chemical Symbols)

元素周期表#

数字上标与下标#

上标：⁰¹²³⁴⁵⁶⁷⁸⁹⁺⁻
下标：₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉₊₋

化学分子结构表达#

分子式#

Molecular Formula

有些分子式相同，但却是不同的分子（同分异构），e.g. C₆H₁₂O₆，可以是葡萄糖，也可以是果糖。

e.g. 水 H₂O，Fe₂(SO₄)₃

SMILES 线性结构式#

[] 组合表达
() 支链（挂在旁边的基团）
= 双键
# 三键
一般大写字母表示原子，但芳环碳上的碳用小写c（环上的氮也用小写n）

e.g. 葡萄糖的开链（直链）结构 OCC(O)C(O)C(O)C(O)C=O

e.g. 酪氨酸 N[C@@H](Cc1ccc(O)cc1)C(O)=O

SMILES 立体结构式#

第一个 1：开始环
第二个 1：结束环
@ 朝某一边
@@ 朝另一边

e.g. 葡萄糖的闭链（六元环）结构 OC[C@H]1OC(O)[C@H](O)[C@@H](O)[C@@H]1O

e.g. 果糖的闭链（五元环）结构 C([C@@H]1[C@H]([C@@H]([C@](O1)(CO)O)O)O)O